Introducción a los números irracionales
Introducción a los números irracionales
En el Estudio Hipatia, un taller de arquitectura, todo se mide con el escáner láser de la mesa de dibujo. Hoy llega un encargo simple: cortar una baldosa cuadrada de 1 m de lado por su diagonal. El láser mide: 1.41421356… y los decimales no terminan nunca, ni se repiten en bloque. Por más que afines la regla — milímetros, micras — ninguna fracción da esa medida exacta.
Esa diagonal mide , el primer número irracional que conoció la humanidad: un número que no puede escribirse como fracción de enteros, y cuyo decimal es infinito y no periódico.
No son rarezas: (toda circunferencia), , y muchísimos más aparecen en cuanto un plano tiene diagonales o curvas. En el simulador vas a medirlos con el láser y a ubicarlos en la regla entre los números de siempre.
El Escáner de Diagonales
Lo que el láser te estaba mostrando
Un número irracional es un número que no puede expresarse como fracción de enteros. Su huella digital es el decimal:
1) √n es irracional salvo que n sea cuadrado perfecto. y son racionales; pero son irracionales: el láser nunca los clava en una marca exacta.
2) Se pueden encerrar entre enteros. Como , se cumple . Así se ubica cualquier raíz en la regla sin calculadora: con los cuadrados perfectos vecinos.
3) Juntos completan la recta. Los racionales y los irracionales no comparten ningún número y entre ambos forman los reales: . Cada punto de la regla del taller es exactamente uno de los dos.
- ¿Es fracción de enteros (o decimal finito/periódico)? → racional. ¿Decimal infinito sin período? → irracional.
- Para √n: pregunta si n es cuadrado perfecto (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…). Si lo es → racional; si no → irracional.
- Para ubicar √n: busca los cuadrados perfectos vecinos y concluye .
- Afinar (opcional): prueba con decimales: 2.6² = 6.76 y 2.7² = 7.29 → .
| Número | ¿Racional o irracional? | Por qué |
|---|---|---|
| racional | es la fracción 3/4 (decimal finito) | |
| racional | decimal periódico = 1/3 | |
| racional | 9 es cuadrado perfecto: √9 = 3 | |
| irracional | 7 no es cuadrado perfecto | |
| irracional | decimal infinito no periódico (3.14159…) |
Ejemplo del libro: ubicar → 4 < 7 < 9 → 2 < √7 < 3.
El origen. El descubrimiento fue un escándalo. En el siglo V a.C., los pitagóricos creían que "todo es número" — y por número entendían fracciones. Cuando Hipaso de Metaponto demostró que la diagonal del cuadrado de lado 1 no era ninguna fracción, rompió el credo de su propia escuela; la leyenda dice que lo expulsaron (o algo peor: que lo lanzaron al mar). Los griegos llamaron a estas medidas álogos — "inexpresables". Siglos después, π resultó ser de la misma familia (Lambert lo demostró recién en 1761).
Quién lo usa hoy y para qué. Los irracionales están en el corazón de cualquier cálculo con formas:
- 📄El papel A4. Sus lados están en proporción √2 a propósito: al doblarlo por la mitad, conserva la misma proporción. Toda la serie A (A3, A4, A5…) vive sobre un irracional.
- 🏗️Arquitectura e ingeniería. Diagonales de losas, riostras a 45°, distancias entre columnas: los planos reales están llenos de L√2 y de π en columnas circulares.
- 🛰️GPS y gráficos por computadora. Cada distancia entre dos puntos se calcula con una raíz cuadrada (casi siempre irracional): tu teléfono evalúa millones de ellas al navegar o al renderizar un juego.
- 🔢Computación de alto rendimiento. Calcular dígitos de π (ya van billones) se usa como prueba de estrés de supercomputadoras y para verificar hardware nuevo.
Ejemplo 1 — Clasificar números
Clasifica como racional o irracional: 0.8, √5, 2/7, √16, π.
- 0.8: decimal finito = 4/5 → racional.
- : 5 no es cuadrado perfecto → irracional.
- 2/7: ya es fracción de enteros → racional (su decimal 0.285714… es periódico).
- → racional; → irracional (infinito, sin período).
Ejemplo 2 — Encerrar entre enteros
- Busco cuadrados perfectos vecinos de 7: 4 = 2² y 9 = 3².
- Como , tomo raíces: .
- √7 está entre 2 y 3, más cerca de 3 (7 está más cerca de 9 que de 4).
- Afino: 2.6² = 6.76 y 2.7² = 7.29 → 2.6 < √7 < 2.7. ✓
Ejemplo 3 — La diagonal de la baldosa grande
Una baldosa cuadrada tiene 3 m de lado. ¿Cuánto mide su diagonal y entre qué enteros cae?
- La diagonal de un cuadrado de lado L mide (por Pitágoras: ).
- Con L = 3: diagonal = .
- Encierro √18: 16 < 18 < 25 → .
- La diagonal mide 3√2 ≈ 4.24 m: el láser la marca entre el 4 y el 5 de la regla.
Ejemplo 4 — ¿Por qué 0.272727… NO es irracional?
- Su decimal es infinito… pero el bloque 27 se repite: es periódico.
- Todo decimal periódico es una fracción: .
- Conclusión: racional. Lo infinito no basta: lo que delata al irracional es no tener período.
- Compara con 0.10110111011110… (cada bloque de unos crece): infinito y SIN período → irracional.
Ejemplo 5 — Ordenar racionales e irracionales juntos
Ordena de menor a mayor: √5, 2, 7/3, √4.
- Traduzco lo que pueda: exacto; 7/3 = 2.333…; (pues 2² = 4 < 5 < 9 = 3², y 2.2² = 4.84, 2.3² = 5.29).
- Comparo: 2 = 2 < 2.236… < 2.333…
- Orden final: .
- En la regla del taller conviven los dos tipos: por eso a la recta completa se la llama "recta real".
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Números irracionales y potencias
Números irracionales y potencias
En el Estudio Hipatia llega un encargo: una losa de 72 m²… pero el camión solo carga piezas cuadradas de un mismo tamaño. La jefa lo resuelve en una línea: 72 = 36 × 2, es decir, un cuadrado de 6×6 repetido dos veces. En el idioma de las raíces: .
Eso es simplificar un radical: sacar del radicando el mayor cuadrado perfecto que tenga dentro. El número no cambia — √72 y 6√2 son el mismo punto de la regla — pero la segunda forma es más corta, más comparable y más fácil de operar.
La herramienta de fondo es la conexión raíz ↔ potencia: , y por eso : lo que está al cuadrado sale de la raíz. En el simulador, el compactador hará este trabajo pieza por pieza.
El Compactador de Radicales
Lo que el compactador te estaba mostrando
Las raíces son potencias de exponente fraccionario, y por eso heredan sus propiedades:
1) Lo que está al cuadrado, sale. De el factor a² sale como a: . Es el cuadrado k×k del compactador abandonando la losa.
2) La compactación total exige el MAYOR cuadrado. es válido pero incompleto (18 = 9·2 aún esconde un 9). La forma final es , con m libre de cuadrados (2, 3, 5, 6, 7, 10, 11…).
3) El valor no cambia. Simplificar es reescribir: . Sigue siendo irracional; solo cambió el traje.
- Factoriza el radicando buscando cuadrados perfectos: 72 = 36 · 2 (o por primos: 72 = 2³·3² = 2²·3²·2).
- Separa la raíz del producto: .
- Extrae el cuadrado: → .
- Verifica la compactación: el radicando restante no debe contener cuadrados perfectos (si los tiene, repite).
| Radical | Factorización útil | Forma simplificada |
|---|---|---|
| 8 = 4 · 2 | 2√2 | |
| 50 = 25 · 2 | 5√2 | |
| 48 = 16 · 3 | 4√3 | |
| 30 = 2·3·5 (sin cuadrados) | no se simplifica |
Conexión con potencias: y : raíz y cuadrado se deshacen mutuamente.
El origen. El símbolo √ apareció en 1525 en el libro Coss del alemán Christoph Rudolff — se cree que es una "r" estilizada de radix (raíz, en latín). Antes se escribía la palabra completa. La idea de tratar las raíces como potencias de exponente fraccionario (a^(1/2)) la formalizó Newton en el siglo XVII, y fue lo que permitió que raíces y potencias compartieran las mismas reglas.
Quién lo usa hoy y para qué. Simplificar radicales es mantenimiento básico de fórmulas en cualquier disciplina técnica:
- 🏗️Ingeniería estructural. Las fórmulas de pandeo y resonancia están llenas de raíces; entregarlas simplificadas (6√2 en vez de √72) evita errores de transcripción en obra.
- 🎮Gráficos y videojuegos. Los motores normalizan vectores dividiendo entre √(x²+y²+z²) millones de veces por segundo; simplificar y reutilizar radicales ahorra cómputo real.
- 📡Electrónica. El voltaje eficaz de la corriente alterna es V/√2: una de las raíces más usadas del planeta, presente en cada cargador.
- 🧮Álgebra computacional. Sistemas como los CAS (los "Wolfram" del mundo) aplican exactamente el algoritmo del compactador: extraer el mayor cuadrado y dejar el resto libre de cuadrados, la "forma canónica" del radical.
Ejemplo 1 — Simplificar
- Busco el mayor cuadrado perfecto dentro de 50: 25.
- Factorizo: .
- Separo y extraigo: .
- Verifico: 2 no esconde cuadrados → 5√2 es la forma final.
Ejemplo 2 — El error del cuadrado pequeño:
- Tomo 4 (cuadrado pequeño): . Válido… pero 18 = 9·2.
- Sigo: .
- Atajo: tomar de entrada el MAYOR cuadrado (36): .
- Moraleja: si m aún esconde un cuadrado, la compactación no terminó.
Ejemplo 3 — Con potencias:
- Separo el mayor exponente par: .
- Extraigo: .
- Resultado: .
- En exponentes: : la misma regla escrita como potencia.
Ejemplo 4 — El pedido de piezas idénticas
Una losa de 45 m² debe salir del almacén como piezas cuadradas idénticas más el menor resto posible. ¿Cómo se reporta √45?
- Mayor cuadrado dentro de 45: 9 (pues 45 = 9 · 5).
- .
- 5 es libre de cuadrados: compactación total.
- Reporte: 3√5 — tres piezas de lado √5 (≈ 2.236 m). El camión lo entiende a la primera.
Ejemplo 5 — Comparar sin calculadora: ¿2√7 o 3√3?
- Meto todo dentro de la raíz: .
- Lo mismo con el otro: .
- Comparo radicandos: 28 > 27.
- 2√7 > 3√3. El truco inverso al compactador: re-inflar para comparar.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Adición y sustracción de irracionales
Adición y sustracción de irracionales
El Estudio Hipatia corta vigas a medida: las vigas √2 (diagonales de baldosa de lado 1) y las vigas √3 (diagonales de caja cúbica). El encargado del almacén suma rápido: "tres vigas √2 más dos vigas √2 son cinco vigas √2". Pero cuando un practicante intenta anotar "una √2 más una √3 = una √5", lo detiene en seco: son piezas de distinta familia, no se funden.
Esa es exactamente la regla de la adición de radicales: (mismas piezas, se cuentan), pero se queda escrito así: indicado, sin combinar.
Y un detalle de oficio: a veces dos piezas parecen distintas pero son la misma familia disfrazada: es en realidad . Antes de sumar, se simplifica (tema 1.2) y recién entonces se cuentan las vigas. En el simulador lo verás pieza por pieza.
El Almacén de Vigas
Lo que el almacén te estaba mostrando
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo radicando (ya simplificado). Solo entonces se suman o restan, contando coeficientes:
1) Las familias no se cruzan. — compruébalo con decimales: 1.414 + 1.732 = 3.146, pero √5 ≈ 2.236. La suma de familias distintas queda indicada.
2) Primero desenmascarar, después contar. parece imposible… hasta que simplificas: . La simplificación del tema 1.2 es el paso previo obligatorio.
3) El radical actúa como una unidad. Sumar 3√2 + 2√2 es como sumar 3 manzanas + 2 manzanas: cuentas las piezas, la "manzana" (√2) no cambia.
- Simplifica cada radical por completo (extrae el mayor cuadrado): .
- Agrupa los términos con el mismo radicando (las familias).
- Suma o resta los coeficientes dentro de cada familia: .
- Deja indicado lo que no comparte radicando: el resultado puede tener varios términos.
| Operación | Proceso | Resultado |
|---|---|---|
| misma familia: 3 + 4 | 7√2 | |
| misma familia: 5 − 2 | 3√7 | |
| simplifico: 2√2 + √2 | 3√2 | |
| familias distintas | queda indicado |
Ejemplo del libro: .
El origen. Agrupar "lo que es del mismo tipo" es la idea fundadora del álgebra: el matemático persa al-Juarismi (siglo IX) llamó a su método al-jabr — "restauración, recomposición" — y de ahí viene la palabra álgebra. Sumar radicales semejantes es la misma operación que él sistematizó para términos como 3x + 2x: contar piezas iguales. Los radicales como objetos algebraicos se consolidaron en Europa entre los siglos XVI y XVII, cuando el símbolo √ de Rudolff se volvió estándar.
Quién lo usa hoy y para qué. Agrupar términos semejantes es mantenimiento diario en cualquier sistema que maneje medidas exactas:
- 🪚Carpintería y estructuras metálicas. Los despieces reales suman longitudes con radicales (diagonales a 45°, riostras): el plano final agrupa "n piezas de L√2" igual que tu almacén.
- 💻Software CAD y de corte. Los optimizadores de corte agrupan medidas idénticas antes de pedir material: menos desperdicio, exactamente la regla (a+b)√m.
- 🧮Álgebra computacional. Simplificar expresiones simbólicas (lo que hace un CAS al "ordenar" tu resultado) empieza por reunir términos semejantes, radicales incluidos.
- 📏Física e ingeniería. Las soluciones exactas (no decimales) de muchos problemas se reportan como combinaciones tipo a√2 + b√3: mantenerlas agrupadas evita errores de redondeo acumulados.
Ejemplo 1 — Misma familia:
- Todos los términos comparten radicando 5: una sola familia.
- Opero los coeficientes: 6 + 3 − 2 = 7.
- .
- Verifico con decimales: (6+3−2)·2.236 ≈ 15.65 ✓.
Ejemplo 2 — Simplificar primero:
- Ninguno está simplificado: 18 = 9·2 y 50 = 25·2.
- y .
- ¡Misma familia disfrazada! 3√2 + 5√2 = 8√2.
- Sin simplificar, la suma parecía imposible; con el compactador, fue contar.
Ejemplo 3 — Familias mixtas:
- Agrupo por radicando: familia √3: 4√3 − √3 · familia √2: 2√2 + 5√2.
- Familia √3: (4 − 1)√3 = 3√3.
- Familia √2: (2 + 5)√2 = 7√2.
- Resultado: — dos términos, y así se queda.
Ejemplo 4 — El pedido de la baranda
Un cliente pide una baranda de 7√2 m. El riel ya tiene 3√2 m colocados y llega un lote de √8 m. ¿Cuántas vigas √2 faltan?
- Desenmascaro el lote: .
- Lo colocado: 3√2 + 2√2 = 5√2.
- Pedido − colocado: 7√2 − 5√2 = 2√2.
- Faltan 2 vigas √2. El almacén factura por familias, nunca mezcla radicandos.
Ejemplo 5 — El error clásico:
- Tentación: ¿√9 + √16 = √25 = 5? Compruebo: √9 = 3, √16 = 4.
- 3 + 4 = 7, no 5.
- Moraleja: . La raíz NO reparte la suma.
- Solo los radicales semejantes se combinan, y lo hacen por coeficientes.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Multiplicación y división de irracionales
Multiplicación y división de irracionales
En el Estudio Hipatia hay que cotizar la cubierta de una mesa rectangular cuyos lados midieron √2 m y √8 m (dos diagonales del proyecto anterior). El practicante teme un decimal infinito… pero la jefa multiplica radicandos: . Cuatro metros cuadrados exactos.
A diferencia de la suma — donde las familias no se mezclan — el producto de raíces es directo: se multiplican los radicandos bajo una sola raíz. Y la división, igual: .
El simulador es la mesa de áreas: eliges los lados √a y √b, y el láser calcula el área √(a·b) — que unas veces resulta irracional y otras, como por arte de magia, un entero exacto. Tu trabajo será aprender a provocar esa magia.
La Mesa de Áreas
Lo que la mesa te estaba mostrando
El producto y el cociente de raíces operan dentro del radical:
1) Con coeficientes, cada uno con su pareja. : coeficiente × coeficiente y radicando × radicando.
2) El producto puede "curar" la irracionalidad. Si a·b es cuadrado perfecto, el resultado es entero: . El caso estrella: .
3) Después de multiplicar, simplifica. : el compactador del tema 1.2 siempre da el último retoque.
- Multiplica (o divide) los coeficientes entre sí.
- Multiplica (o divide) los radicandos bajo una sola raíz: .
- Simplifica el resultado extrayendo el mayor cuadrado perfecto.
- Si queda una raíz en el denominador, racionaliza: multiplica arriba y abajo por esa raíz: .
| Operación | Proceso | Resultado |
|---|---|---|
| 3 · 5 = 15, sin cuadrados | √15 | |
| 2 · 8 = 16 = 4² | 4 | |
| 48 ÷ 3 = 16 | 4 | |
| racionalizo: ×√3/√3 | 2√3 |
Ejemplo del libro: y .
El origen. Los griegos multiplicaban raíces sin saberlo: en los Elementos de Euclides (siglo III a.C.) construían la media proporcional — el lado del cuadrado con la misma área que un rectángulo dado — que es exactamente √(a·b) con regla y compás. Y la racionalización fue durante siglos una necesidad práctica: antes de las calculadoras, dividir 1 ÷ 1.4142… a mano era una tortura, pero √2/2 = 0.7071… era una multiplicación sencilla. Por eso los libros insistían tanto en "limpiar" los denominadores.
Quién lo usa hoy y para qué. El producto de raíces aparece donde se combinan magnitudes cuadráticas:
- 🎮Gráficos 3D. Normalizar un vector exige dividir entre √(x²+y²+z²): los motores de juego hacen esta división de raíces millones de veces por segundo.
- ⚡Electrónica. La potencia eficaz combina V/√2 por I/√2: el producto de los dos "√2" reaparece como el famoso factor 1/2 de la corriente alterna.
- 📊Finanzas. La volatilidad escala con √t: para pasar de volatilidad diaria a anual se multiplica por √252, un producto de raíces que mueve mercados.
- 📐Diseño y construcción. Las áreas con lados irracionales (diagonales, proporciones √2 del papel A) se cotizan con la regla √a·√b = √(ab): a veces el presupuesto sale entero exacto.
Ejemplo 1 — Producto simple:
- Multiplico radicandos bajo una sola raíz: .
- 3 · 7 = 21.
- 21 = 3·7 no esconde cuadrados: no se simplifica.
- .
Ejemplo 2 — Con coeficientes:
- Coeficientes entre sí: 2 · 5 = 10. Radicandos entre sí: 6 · 3 = 18.
- Tengo .
- Simplifico: 18 = 9·2 → .
- .
Ejemplo 3 — División:
- Divido radicandos: .
- 36 es cuadrado perfecto.
- : cociente racional exacto.
- Verifico: 6·√2 = √36·√2 = √72 ✓.
Ejemplo 4 — Racionalizar:
- Hay una raíz en el denominador: multiplico arriba y abajo por √5.
- .
- Simplifico la fracción: 10/5 = 2.
- — mismo valor, denominador limpio.
Ejemplo 5 — La cubierta que salió exacta
Una mesa tiene lados √6 m y √24 m. ¿Cuánto cuesta la cubierta a 80 pesos el m²?
- Área = .
- 144 = 12²: ¡cuadrado perfecto!
- Área = 12 m² exactos: dos lados irracionales, área entera.
- Costo: 12 × 80 = 960 pesos, sin un solo decimal de incertidumbre.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Resolución de problemas con irracionales
Resolución de problemas con irracionales
Último encargo de la semana en el Estudio Hipatia: una riostra (la barra diagonal que evita que una estantería se tuerza). La estantería mide 3 m de base y 4 m de alto. ¿Cuánto debe medir la barra? El taller responde con la herramienta más famosa de la geometría: el teorema de Pitágoras: metros exactos.
Pero la mayoría de los encargos no son tan amables: una base de 2 y una altura de 3 dan , irracional puro. Por eso este tema reúne todo lo de la unidad: calcular la raíz, simplificarla, ubicarla en la regla y reportarla con forma exacta.
En el simulador armarás triángulos con catetos a tu elección y verás nacer la hipotenusa — a veces entera (las famosas ternas pitagóricas), casi siempre irracional. En la misión, el cliente te pedirá riostras de longitud entera exacta: tendrás que encontrar la terna.
El Taller de Pitágoras
Lo que el taller te estaba mostrando
En todo triángulo rectángulo, los cuadrados de los catetos suman el cuadrado de la hipotenusa:
1) La hipotenusa casi siempre es irracional. Solo las ternas pitagóricas (3-4-5, 5-12-13, 6-8-10, 8-15-17…) dan enteros. El resto del catálogo vive en los irracionales: ahí se conecta toda la unidad.
2) El resultado se reporta en forma exacta. Catetos 2 y 4: . Se simplifica (tema 1.2), no se redondea; el decimal es solo la verificación final.
3) También sirve al revés. Conocida la hipotenusa y un cateto: — la resta va DENTRO de la raíz, jamás se restan las raíces.
- Dibuja y nombra: identifica el triángulo rectángulo del problema; la hipotenusa es SIEMPRE el lado opuesto al ángulo recto (el mayor).
- Plantea: hipotenusa → ; cateto → .
- Calcula y simplifica el radical (extrae el mayor cuadrado perfecto).
- Responde con unidades y, si hace falta, aproxima al final: m.
| Encargo | Planteo | Resultado |
|---|---|---|
| riostra (3 y 4) | √(9+16) = √25 | 5 (terna) |
| rampa (2 y 3) | √(4+9) | √13 ≈ 3.61 |
| diagonal cuadrado L | √(L²+L²) | L√2 |
| cateto (c=13, b=5) | √(169−25) = √144 | 12 |
Error a evitar: . La raíz de la suma NO es la suma: √(9+16) = 5, no 7.
El origen. El teorema lleva el nombre de Pitágoras (siglo VI a.C.), pero la tablilla babilónica Plimpton 322 — mil años anterior — ya lista ternas pitagóricas, y los agrimensores egipcios usaban una cuerda con 12 nudos (3+4+5) para trazar ángulos rectos perfectos al replantear campos tras las crecidas del Nilo. La primera demostración rigurosa que conservamos está en los Elementos de Euclides. Y fue precisamente este teorema, aplicado al cuadrado de lado 1, el que descubrió los irracionales (tema 1.1): la unidad se cierra donde empezó.
Quién lo usa hoy y para qué. Es posiblemente el teorema más usado del planeta:
- 👷Construcción. El "3-4-5" sigue siendo el truco de obra para escuadrar: se marcan 3 m y 4 m y la diagonal debe dar 5 m exactos. Idéntico a los egipcios, 4000 años después.
- 🖥️Pantallas. Las "pulgadas" de todo televisor, monitor o teléfono son la hipotenusa del rectángulo visible.
- 🗺️GPS y videojuegos. La distancia entre dos puntos es Pitágoras puro: √(Δx² + Δy²). Tu mapa y tu juego favorito lo calculan millones de veces por segundo.
- 📡Topografía y redes. Tender un cable entre dos torres de distinta altura, calcular la pendiente real de una carretera: triángulo rectángulo, raíz al final.
Ejemplo 1 — Hipotenusa entera: catetos 6 y 8
- Planteo: .
- Calculo: .
- 100 es cuadrado perfecto: c = 10.
- Es la terna 3-4-5 duplicada: las ternas se pueden escalar.
Ejemplo 2 — Hipotenusa irracional: catetos 2 y 4
- .
- Simplifico: 20 = 4·5 → .
- Reporto exacto: c = 2√5 m.
- Verificación decimal: 2 × 2.236 ≈ 4.47 m ✓.
Ejemplo 3 — Hallar un cateto: c = 13, b = 5
- Despejo el cateto: (la resta va DENTRO).
- .
- a = 12: la terna 5-12-13.
- Control: el cateto (12) salió menor que la hipotenusa (13) ✓.
Ejemplo 4 — La rampa de acceso
Una rampa debe cubrir 6 m de base y subir 3 m. ¿Qué longitud de rampa se corta?
- Triángulo rectángulo: base 6, altura 3, rampa = hipotenusa.
- .
- Simplifico: 45 = 9·5 → .
- Se corta una rampa de 3√5 ≈ 6.71 m. El taller pide la pieza con margen: 6.75 m.
Ejemplo 5 — La pantalla del estudio
Un monitor mide 16 pulgadas de ancho y 9 de alto (sí, como el 16:9). ¿Cuál es su diagonal?
- .
- 337 es primo: no se simplifica.
- d = √337 ≈ 18.36 pulgadas — los fabricantes lo redondean a "18.4 pulgadas".
- Cada vez que lees el tamaño de una pantalla, estás leyendo una hipotenusa.
Responde con calma. Cada respuesta se marca en verde si es correcta o en rojo si no, y te explico el porqué. No necesitas acertar para seguir.
5 preguntas. Aprobación al 80%. En cada reintento cambia el orden de las preguntas y de las respuestas.
Responde una a una: cada respuesta se marca en verde o rojo. Necesitas 80% para aprobar. Pulsa Reintentar para barajar.